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Despedida

Carlo Frabetti — Fri, 28 Nov 2025 12:45:10 GMT

Esta es la entrega número 547 (un número primo y defectivo, ¿tiene alguna otra característica destacable?) de El juego de la ciencia, y también la última, pues, por razones de reestructuración de las páginas científicas, deja de publicarse.

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¿Sabías que el mayor número primo capicúa conocido tiene casi dos millones de cifras?

Carlo Frabetti — Fri, 21 Nov 2025 10:10:36 GMT

Los palíndromos de la semana pasada han estimulado la imaginación de nuestros sagaces lectores, que han hecho interesantes aportaciones al tema. Así, Ser Ar ha encontrado dos destacables, uno por su longitud y otro que, aunque es más breve, suena como una frase muy normal, que bien podría oírse en una conversación real: “A mamá Roma le aviva el amor a papá y a papá Roma le aviva el amor a mamá” y “La ruta nos aportó otro paso natural”. Y Javier Tamames ha complementado el famoso palíndromo de la zorra y el abad con una breve y contundente moraleja: “La zorra le asoló golosa el arrozal”.

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Palíndromos

Carlo Frabetti — Fri, 14 Nov 2025 07:23:02 GMT

No se puede envolver un huevo con papel de aluminio sin que se formen arrugas, como vimos la semana pasada; pero, como señala Rafael Granero: “Matemáticamente (y físicamente), no es posible adaptar una superficie plana (inelástica o de elasticidad limitada) a una esférica sin deformarla: o se estira, o se arruga, o se rompe. Ni lo contrario, y por eso no podemos aplanar la piel entera de media naranja sin que se cuartee. Pero si hacemos jugar al calor... Existen envoltorios termo ajustables, como las fundas termorretráctiles: una lámina plástica que, al aplicarle calor, se contrae y se adapta perfectamente a la forma del objeto”.

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El mapamundi de Leonardo

Carlo Frabetti — Fri, 31 Oct 2025 09:54:25 GMT

El área del triángulo de Reuleaux (R) de la semana pasada es igual a la del triángulo equilátero de lado 1 (T) más tres veces la del segmento circular (S) que hay sobre cada lado:

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El triángulo de Reuleaux

Carlo Frabetti — Fri, 24 Oct 2025 08:32:11 GMT

Si, dado un triángulo equilátero, trazamos sendos círculos con centros en los tres vértices y radio igual al lado del triángulo, la intersección de dichos círculos es un triángulo de Reuleaux, denominado así en honor del ingeniero alemán Franz Reuleaux (1829-1905), considerado el padre de la cinemática. (¿Puedes calcular su área, si tomamos como unidad el lado del triángulo equilátero?).

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La paradoja de las ánforas

Carlo Frabetti — Fri, 17 Oct 2025 09:40:11 GMT

La semana pasada vimos una solución al problema de unir una cuadrícula de 4x4 puntos con solo seis trazos rectilíneos sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por un mismo trazo. He aquí otra, elegantemente simétrica y cíclica:

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Parece imposible…

Carlo Frabetti — Fri, 03 Oct 2025 08:15:08 GMT

Hay problemas matemáticos que parecen resolubles pero no lo son, como la cuadratura del círculo, y otros que parecen imposibles y sin embargo se pueden resolver con un poco de pensamiento lateral. Entre los segundos, uno de los más conocidos, y del que ya hemos hablado en alguna ocasión, es el de los 9 puntos dispuestos en forma de cuadrícula de 3x3 que hay que unir con 4 trazos rectilíneos sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo trazo. Y otro, visto recientemente, es el del triángulo obtusángulo que hay que dividir en acutángulos.

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La circunferencia de los nueve puntos

Carlo Frabetti — Fri, 26 Sep 2025 10:22:29 GMT

En las dos últimas semanas hemos hablado de los cuatro “puntos notables” oficiales del triángulo: incentro, circuncentro, ortocentro y baricentro; pero, obviamente, hay otros puntos singulares, como los puntos medios de los lados (M, N, P). Y también son especiales los puntos de intersección de las tres alturas con sus respectivas bases (E, G, J). Y lo que los hace doblemente especiales es que hay una circunferencia que pasa por todos ellos. Y, más difícil todavía, dicha circunferencia también pasa por otros tres puntos singulares, aunque no tan obvios como los anteriores: los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro (D, F, H).

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Puntos notables

Carlo Frabetti — Fri, 19 Sep 2025 09:57:14 GMT

Los puntos notables del triángulo, de los que hablábamos la semana pasada, han suscitado, valga la redundancia, un notable interés entre mis amables lectores, lo que me anima a seguir abundando en el tema. Es fácil demostrar que las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto.

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¿Es correcto decir que el Sol es el centro del Sistema Solar?

Carlo Frabetti — Fri, 12 Sep 2025 07:33:54 GMT

Las inocentes bromas astronómicas de la semana pasada han dado lugar a una auténtica avalancha de comentarios (más de ochenta) y a sesudas disquisiciones filosóficas. No era mi intención, pero sean bienvenidas, nunca está de más reflexionar sobre las grandes preguntas. Dicho lo cual, vamos con algunas pequeñas respuestas:

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Negacionismo astronómico

Carlo Frabetti — Fri, 05 Sep 2025 10:56:13 GMT

Los cuatro dados no transitivos de Sirley L. Quimby, de los que hablábamos la semana pasada, tienen las caras numeradas del siguiente modo: 1 2 16 17 18 19, 3 4 5 20 21 22, 6 7 8 9 23 24 y 10 11 12 13 14 15, y cabe plantear con ellos el siguiente juego para dos jugadores: uno de los jugadores elige uno de los cuatro dados y el otro uno de los tres restantes; luego cada cual lanza su dado y gana el que obtiene la puntuación más alta. Y la pregunta es: si el primer jugador elige el primer dado, ¿cuál debe elegir el segundo para maximizar su probabilidad de ganar?

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Zugzwang

Carlo Frabetti — Fri, 29 Aug 2025 10:49:56 GMT

Los tres dados no transitivos por los que nos preguntábamos la semana pasada, tales que, en cada uno de ellos, los puntos de sus caras suman 21, como en los dados convencionales, y, como en estos, las puntuaciones van del 1 al 6, son 222555, 144444 y 333336. El primero gana al segundo casi un 60% de las veces, el segundo gana al tercero con la misma probabilidad y el tercero tiene aún más ventaja sobre el primero: le gana casi un 70% de las veces. Dice al respecto Ángel Barrientos:

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No siempre gana el primero

Carlo Frabetti — Fri, 22 Aug 2025 10:31:33 GMT

En el juego de Penney, del que nos hemos ocupado las dos últimas semanas, y puesto que no hay una terna superior a todas las demás (en eso consiste la no transitividad), conviene elegir en segundo lugar, pues, elija lo que elija el otro, siempre habrá una terna con más probabilidades de ganar. Simplificando, es como si en el juego de piedra-papel-tijera pudiéramos elegir de forma sucesiva en vez de simultánea: es evidente que el segundo en elegir ganaría siempre.

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Juegos no transitivos

Carlo Frabetti — Fri, 15 Aug 2025 08:52:37 GMT

La aparente imposibilidad de dividir en acutángulos nuestro triángulo obtusángulo de la semana pasada se debe a que, inconscientemente, nos imponemos la condición, no pedida, de que todos los vértices de los primeros se hallen en el perímetro del segundo. Pero si situamos sendos acutángulos en ambos vértices agudos del obtusángulo, queda delimitado entre ellos un pentágono que, a partir de un punto central, podemos dividir en cinco acutángulos. Es decir, cualquier triángulo obtusángulo se puede dividir en un mínimo de siete triángulos acutángulos.

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Ocho soluciones

Carlo Frabetti — Fri, 08 Aug 2025 07:31:48 GMT

La no transitividad de las relaciones de amistad (pese al consabido dicho de que los amigos de mis amigos son mis amigos), planteada hace un par de semanas, tiene una clara relación con la paradoja sorites. Puesto que, por pequeña que sea, siempre hay una “distancia” (de ideas, de carácter, de conducta…) entre dos personas. Por lo que una suma de proximidades puede convertirse en una distancia insalvable, del mismo modo que una tienda que está cerca de una tienda que está cerca de una tienda que está cerca de una tienda… que está cerca de tu casa, puede estar en la otra punta de la ciudad, si interponemos el suficiente número de cercanías.

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¿Cuántos crees que eran los hermanos Marx?

Carlo Frabetti — Fri, 01 Aug 2025 06:13:44 GMT

Como bien saben mis lectoras y lectores habituales, cada entrega de El juego de la ciencia se plantea a partir de la anterior y en relación con los comentarios que, como no me canso de repetir —y de agradecer—, hacen de esta sección algo más que una mera colección de pasatiempos lógico-matemáticos. Pero en esta ocasión, y sin que sirva de precedente, un breve paréntesis vacacional con acceso limitado a la red me obliga a anticipar la entrega de esta semana, con lo que no podrá entroncar con unos comentarios que aún no se han producido. De modo que, esta vez sí, la sección será una mera colección de problemas.

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Relaciones problemáticas

Carlo Frabetti — Fri, 25 Jul 2025 09:41:43 GMT

Ningún lector ha aceptado la invitación, planteada la semana pasada, de proponer otros ejemplos similares a los números de Erdös y Bacon, así que empezaré yo, a ver si alguien más se anima

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Criterios de conexión y grados de separación

Carlo Frabetti — Fri, 18 Jul 2025 06:53:40 GMT

La pregunta sobre el número de Erdős planteada la semana pasada era una pequeña broma —a la par que un pequeño homenaje— a las y los comentaristas que, con sus enjundiosas aportaciones, hacen de El juego de la ciencia algo más que una mera sección de pasatiempos lógico-matemáticos. Y también una reivindicación de la matemática recreativa, pues no solo en los papers de las publicaciones académicas se cuecen las ideas. Mi número de Erdős es 3, puesto que colaboré con Raymond Smullyan, cuyo nE es 2 (no colaboró directamente con Erdős, pero sí con algunos de sus colaboradores), por lo que a quienes a lo largo de estos diez años han hecho aportaciones a la sección les corresponde, con todo derecho, un nE = 4 (por lo menos). Como dice Juan Zubieta: “Si participar en este foro aportando alguna solución se considera a este efecto como colaboración, apuesto a que nos sobran dedos en la mano para contar nuestro número de Erdős”.

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El número de Erdős

Carlo Frabetti — Fri, 11 Jul 2025 08:45:04 GMT

El problema de la semana pasada fue abordado de forma muy ingeniosa por una lectora que, lamentablemente, luego borró su comentario. Veamos cómo lo abordaron en su día los matemáticos húngaros Paul Erdős y Georges Szekeres, colaboradores habituales y coautores del teorema Erdős-Szekeres. Partieron del principio del palomar y pensaron en dividir el conjunto de los 2n primeros números {1, 2, …, 2n} en n subconjuntos tales que —tomando n + 1 números del conjunto inicial— al menos dos de ellos estuvieran en un mismo subconjunto. De ese modo, si dichos subconjuntos fueran tales que para cualquier par de números de un mismo subconjunto uno fuera múltiplo del otro, quedaría demostrada la afirmación de partida.

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Palomas feroces

Carlo Frabetti — Fri, 04 Jul 2025 06:07:59 GMT

Nos peguntábamos la semana pasada cuántos triángulos equiláteros más pequeños hacen falta, como mínimo, para recubrir un triángulo equilátero. Dichos triángulos más pequeños no tienen por qué ser iguales y pueden solaparse. La respuesta es 3, y se llega a ella por exclusión de la posibilidad menor: es evidente que con 3 es posible, y no es difícil demostrar (¿cómo?) que con 2 no lo es.

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Palomas y recubrimientos

Carlo Frabetti — Fri, 27 Jun 2025 08:36:22 GMT

Los tres problemas “palomeros” planteados la semana pasada, a pesar de su relativa sencillez, suscitaron numerosos e interesantes comentarios.

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Cabellos, décadas y palomas

Carlo Frabetti — Fri, 20 Jun 2025 09:30:04 GMT

El problema de la semana pasada relativo al número de personas con la misma cantidad de pelos en la cabeza es un claro ejemplo de aplicación del principio del palomar (del que ya hablamos hace unos años en relación con un asunto de calcetines y cajones). También conocido como principio de las casillas o principio de Dirichlet (en honor del gran matemático alemán Peter Gustav Dirichlet, que, entre otras aportaciones, introdujo el concepto moderno de función), cuya formulación más simple —y de ahí su nombre— es que si en un palomar hay 100 casillas, solo un máximo de 100 palomas podrán acomodarse en él de forma que solo haya una paloma en cada casilla. Si las palomas son más de 100, en alguna casilla habrá necesariamente más de una paloma.

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Problemas capilares

Carlo Frabetti — Fri, 13 Jun 2025 08:14:44 GMT

Si a nuestra aprensiva princesa de la semana pasada se le caen 50 cabellos diarios y la cuenta se mantiene en 150.000, quiere decir que diariamente le salen 50 nuevos. Lógicamente, los que acaban de salir serán los últimos en caer, por lo que la vida media de un cabello es de 150.000:50 = 3.000 días. Y puesto que el cabello crece 1 cm al mes, la cabellera de la princesa medirá, en su punto de máxima longitud, alrededor de 1 metro.

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Acertijos con moraleja

Carlo Frabetti — Fri, 06 Jun 2025 10:41:17 GMT

Las seis preguntas trampa de la semana pasada han dado lugar a numerosos e interesantes comentarios. En la imposibilidad de transcribirlos, los resumo en las repuestas que doy a continuación:

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Una pizarra ‘carrolliana’

Carlo Frabetti — Fri, 16 May 2025 09:17:31 GMT

Los 6 cigarrillos en full contact de la semana pasada se pueden mejorar con la disposición mostrada en la figura, en la que un séptimo cigarrillo se inserta en un hueco central formado por los demás.

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